Уравнения, свойственные закрытой экономике без государственного сектора:
$$ S = I = sY, \quad Y = C + I $$
Производственная функция $ Y(K, L, A) = Y(K, AL) $, где:
Постоянная отдача от масштаба $$ Y(aK, aAL) = aY(K, AL) $$
Предельный продукт факторов производства положительный и убывает $$ \frac{\partial Y}{\partial K} > 0, \quad \frac{\partial Y}{\partial L} > 0, \quad \frac{\partial^2 Y}{\partial K^2} < 0, \quad \frac{\partial^2 Y}{\partial L^2} < 0 $$
$$ \displaystyle \lim_{K\to 0} \frac{\partial Y}{\partial K} = \lim_{L\to 0} \frac{\partial Y}{\partial L} = +\infty, \quad \displaystyle \lim_{K\to +\infty} \frac{\partial Y}{\partial K} = \lim_{L\to +\infty} \frac{\partial Y}{\partial L} = 0 $$
Для производства необходим каждый фактор $$ Y(K, 0) = Y(0, AL) = 0 $$
$ L(t) = L_0 e^{nt} $
Население (трудовые ресурсы) растет с темпом $n$
$ A(t) = A_0 e^{gt} $
Технологический прогресс растет с темпом $g$
Функция Кобба-Дугласа
Пусть $k$ это уровень капиталовооруженности на единицу эффективного труда, тогда: $$ k = \frac{K}{AL}, \quad y = \frac{Y}{AL} = \frac{F(K, AL)}{AL} = F\left(\frac{K}{AL}, \frac{AL}{AL}\right) $$ где $y$ - выпуск на единицу эффективного труда.
Используя определение капиталовооруженности на единицу эффективного труда $$ k = \frac{K}{AL}, $$ а также уравнение накопления капитала $$ \dot K = sY - \delta K, $$ получаем: $$ \dot{k} = \frac{\dot K}{AL} - \frac{K}{AL}\left(\frac{\dot A}{A} + \frac{\dot L}{L}\right). $$
Так как $$ \frac{\dot L}{L} = n, \quad \frac{\dot A}{A} = g, \quad y = \frac{Y}{AL} = f(k), $$ то основное уравнение модели Солоу в интенсивной форме принимает вид: $$ \dot{k}(t) = s f(k(t)) - (\delta + n + g)k(t). $$
В случае производственной функции Кобба-Дугласа $$ f(k) = k^\alpha, $$ поэтому $$ \dot{k}(t) = s k(t)^\alpha - (\delta + n + g)k(t). $$
Стационарное состояние определяется условием отсутствия изменений капиталовооруженности: $$ \dot{k} = 0. $$ Следовательно, $$ s f(k^*) = (\delta + n + g)k^*. $$
В стационарном состоянии капитал и выпуск на единицу эффективного труда постоянны: $$ k(t) = k^*, \quad y(t) = y^* = f(k^*). $$ Для функции Кобба-Дугласа получаем: $$ s(k^*)^\alpha = (\delta + n + g)k^*, $$ откуда $$ k^* = \left(\frac{s}{\delta + n + g}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}, \quad y^* = (k^*)^\alpha. $$
Экономический смысл стационарного состояния состоит в том, что инвестиции на единицу эффективного труда в точности компенсируют амортизацию капитала, рост населения и технологический прогресс. Поэтому величины \(k\) и \(y\) больше не изменяются.
Основная диаграмма строится в координатах \((k, y)\) и содержит две ключевые кривые: $$ s f(k) $$ и $$ (\delta + n + g)k. $$
Кривая \(sf(k)\) показывает фактические инвестиции на единицу эффективного труда, а прямая \((\delta + n + g)k\) — так называемые восстановительные инвестиции, необходимые для поддержания постоянного уровня капиталовооруженности.
Если $$ s f(k) > (\delta + n + g)k, $$ то $$ \dot{k} > 0, $$ и капиталовооруженность растет. Если же $$ s f(k) < (\delta + n + g)k, $$ то $$ \dot{k} < 0, $$ и капиталовооруженность уменьшается.
Точка пересечения этих двух кривых соответствует стационарному состоянию \(k^*\). При стандартных предпосылках модели Солоу это стационарное состояние является единственным и устойчивым.
Траектория сбалансированного роста — это такая траектория, на которой основные агрегированные переменные экономики растут с постоянными темпами. В модели Солоу на этой траектории величины на единицу эффективного труда постоянны: $$ k = k^*, \quad y = y^*. $$
Так как $$ K = kAL, \quad Y = yAL, $$ а \(k\) и \(y\) постоянны, то капитал и выпуск растут тем же темпом, что и эффективный труд: $$ g_K = g_Y = n + g. $$
Выпуск на одного работника равен $$ \frac{Y}{L} = Ay, $$ поэтому на траектории сбалансированного роста его темп роста равен: $$ g_{Y/L} = g. $$
Таким образом, в модели Солоу долгосрочный рост выпуска на одного работника определяется исключительно темпом технологического прогресса.
Потребление на единицу эффективного труда определяется как $$ c = y - sy = f(k) - sf(k). $$ На траектории сбалансированного роста из условия $$ sf(k) = (\delta + n + g)k $$ получаем: $$ c(k) = f(k) - (\delta + n + g)k. $$
Золотое правило накопления — это такой уровень капиталовооруженности \(k_{GR}\), при котором потребление на единицу эффективного труда максимально. Условие первого порядка: $$ f'(k_{GR}) = \delta + n + g. $$
Для функции Кобба-Дугласа $$ f(k) = k^\alpha, \quad f'(k) = \alpha k^{\alpha - 1}, $$ поэтому уровень капиталовооруженности по золотому правилу определяется из уравнения $$ \alpha k_{GR}^{\alpha - 1} = \delta + n + g. $$
В модели Кобба-Дугласа норма сбережений, соответствующая золотому правилу, совпадает с эластичностью выпуска по капиталу: $$ s_{GR} = \alpha. $$
В условиях совершенной конкуренции ставка доходности капитала определяется его предельным продуктом. Для фирмы выполняется условие: $$ F_K'(K, AL) = r + \delta, $$ где \(r\) — процентная ставка, а \(\delta\) — норма амортизации.
В интенсивной форме это условие записывается как $$ r = f'(k) - \delta. $$ Для функции Кобба-Дугласа: $$ r = \alpha k^{\alpha - 1} - \delta. $$
Если выполняется золотое правило накопления, то $$ f'(k_{GR}) = \delta + n + g. $$ Тогда процентная ставка равна $$ r = f'(k_{GR}) - \delta = n + g. $$
Это означает, что в точке золотого правила чистая доходность капитала совпадает с суммой темпов роста населения и технологического прогресса.