Математическая модель

Основные предпосылки модели

Уравнения, свойственные закрытой экономике без государственного сектора:

\( S = I = sY, \quad Y = C + I \)

Производственная функция \( Y(K, L, E) = Y(K, LE) \), где:

\( K \)
Капитал
\( L \)
Труд
\( E \)
Уровень технологии

Свойства производственной функции

\( Y(aK, aLE) = aY(K, LE) \)

Постоянная отдача от масштаба

\( \frac{\partial Y}{\partial K} > 0, \quad \frac{\partial Y}{\partial L} > 0, \quad \frac{\partial^2 Y}{\partial K^2} < 0, \quad \frac{\partial^2 Y}{\partial L^2} < 0 \)

Предельный продукт факторов производства положительный и убывает

Условия Инады

\( \displaystyle \lim_{K\to 0} \frac{\partial Y}{\partial K} = \lim_{L\to 0} \frac{\partial Y}{\partial L} = +\infty, \quad \displaystyle \lim_{K\to +\infty} \frac{\partial Y}{\partial K} = \lim_{L\to +\infty} \frac{\partial Y}{\partial L} = 0 \)
\( Y(K, 0) = Y(0, LE) = 0 \)

Для производства необходим каждый фактор

Динамика факторов производства

\( L(t) = L_0 e^{nt} \)

Население (трудовые ресурсы) растет с темпом \( n \)

\( E(t) = E_0 e^{gt} \)

Технологический прогресс растет с темпом \( g \)

\( \delta \)
Норма выбытия капитала
\( s \)
Норма сбережений

Основная система уравнений

\( \left\{ \begin{array}{l} L(t) = L_0 e^{nt}, \\ E(t) = E_0 e^{gt}, \\ Y(t) = F(K(t), E(t)L(t)), \\ I(t) = sY(t), \\ C(t) = (1 - s)Y(t), \\ \frac{\partial K}{\partial t} = I(t) - \delta K(t) \end{array} \right. \)

Начальные условия модели

\( \left\{ \begin{array}{l} K(0) = K_0 > 0, \\ L(0) = L_0 > 0, \\ E(0) = E_0 > 0, \\ Y(0) = F(K_0, E_0L_0) \end{array} \right. \)